Roboterkinematik: Vorwärtsrechnung, inverse Lösung und Singularität

20. März 2026 Patrick Mehner

Kinematik beschreibt die Geometrie von Bewegungen. Die Vorwärtskinematik berechnet aus Achs- oder Gelenkstellungen die Werkzeugpose; die inverse Kinematik sucht passende Stellungen für eine gewünschte Pose. Kräfte, Drehmomente und die tatsächlich erreichbare Bewegung sind damit noch nicht vollständig bestimmt.

Eine Pose umfasst Position und Orientierung. Dieser Unterschied geht schnell verloren, wenn nur ein Punkt auf einer Zeichnung betrachtet wird. Ein Greifer kann denselben Punkt erreichen und dabei in eine andere Richtung zeigen. Für Fräsen, Greifen oder Fügen kann genau diese Richtung entscheidend sein.

Ein Zweigelenkarm als überschaubares Modell

Wir betrachten zwei starre Glieder von je 100 mm in einer Ebene. θ₁ wird von +X gegen den Uhrzeigersinn gemessen. θ₂ ist der relative Winkel des zweiten Glieds zum ersten. Damit gilt x = L₁ cos θ₁ + L₂ cos(θ₁ + θ₂) und y = L₁ sin θ₁ + L₂ sin(θ₁ + θ₂). Die Orientierung des Endglieds ist θ₁ + θ₂.

Eigene berechnete Einzelstellungen. Die Animation blendet zwischen Erklärschritten um; sie plant keine kollisionsfreie Fahrt zwischen den Stellungen.

Das Prinzip Schritt für Schritt

Startet nur auf Wunsch. Pause hält den aktuellen Stand fest. Die Darstellung läuft in Lerngeschwindigkeit; sie simuliert keine Maschinensteuerung. Ohne Bewegung erklären Grafik und Liste denselben Inhalt.

Mit θ₁ = 0 Grad und θ₂ = 90 Grad liegt das erste Glied waagerecht und das zweite senkrecht. Die Spitze liegt bei (100; 100) mm; das Endglied zeigt auf 90 Grad.
Mit θ₁ = 90 Grad und θ₂ = −90 Grad wird derselbe Punkt (100; 100) mm erreicht. Das Endglied zeigt jetzt auf 0 Grad. Gleiche Position bedeutet nicht gleiche Pose.
Bei θ₁ = 45 Grad und θ₂ = 0 Grad sind beide Glieder gestreckt auf 45 Grad ausgerichtet. Die Spitze liegt bei etwa (141,42; 141,42) mm.
Bei beiden Winkeln 0 Grad liegt die Spitze bei (200; 0) mm. Diese gestreckte Stellung ist für die ebene Positionsbewegung singulär.

Warum die inverse Aufgabe mehrere Antworten haben kann

Für die Position (100; 100) mm liefern die ersten beiden Stellungen zwei Lösungen. Wird zusätzlich eine Endgliedorientierung gefordert, kann eine davon ausscheiden oder gar keine Lösung übrig bleiben. Der Zweigelenkarm hat nicht genug unabhängige Bewegungsmöglichkeiten, um x, y und Orientierung beliebig vorzugeben.

Ein weiteres eigenes Beispiel: Ein Ziel bei (250; 0) mm liegt außerhalb der maximalen Reichweite von 200 mm. Kein Rechenverfahren macht diesen Punkt für das Modell erreichbar. Reale Gelenkgrenzen und Hindernisse schränken die Menge möglicher Lösungen zusätzlich ein.

Was eine Singularität bedeutet

In einer singulären Stellung verliert die Abbildung von Gelenkgeschwindigkeiten auf Werkzeuggeschwindigkeit ihren sonst erreichbaren Rang. Beim vollständig gestreckten ebenen Arm erzeugen kleine Gelenkgeschwindigkeiten zunächst eine Querbewegung; eine beliebige momentane Bewegung in Längsrichtung ist dort nicht möglich. Der Arm ist deshalb nicht in jeder Hinsicht unbeweglich.

In der Nähe solcher Stellungen können bestimmte gewünschte Werkzeugbewegungen sehr große Gelenkgeschwindigkeiten verlangen. Die Bahnplanung muss daher Geschwindigkeits- und Beschleunigungsgrenzen berücksichtigen. Eine numerisch gefundene Winkelkombination ist noch kein vollständiger ausführbarer Bewegungsplan.

Kinematik ist nicht die gesamte Steuerung

Die Lehrunterlagen von Modern Robotics trennen Kinematik und Dynamik. Die Dynamik verknüpft Bewegung unter anderem mit Massen, Kräften und Drehmomenten. Anschließend muss die Regelung den realen Antrieb führen. Auch Schrittimpulse oder Motorströme ergeben sich nicht allein aus der inversen Geometrie.

Für CNC gehören außerdem Koordinatenbezüge, Werkzeugdaten und Bahninterpolation dazu. Eine kartesische Werkzeugbahn kann bei einem Knickarm ganz andere Gelenkbewegungen benötigen als bei einer Maschine mit geraden Linearachsen. Koordinatenbezüge, Aufgaben der Steuerung und Knickarmroboter vertiefen diese Ebenen.

Ein Modell zuerst rechnerisch prüfen

Achsen, Vorzeichen und Einheiten eindeutig festlegen.
Bekannte Stellungen mit einfacher Geometrie nachrechnen.
Eine inverse Lösung durch die Vorwärtsrechnung kontrollieren.
Gelenkgrenzen und Werkzeugorientierung zusätzlich prüfen.
Bahnen, Hindernisse und reale Antriebsgrenzen separat berücksichtigen.

Meine selbst auf CNC umgerüstete BF 20 bildet den persönlichen Bezug dieser Website. Ihr konkretes Steuerungsmodell ist hier nicht dokumentiert. Der gezeigte Zweigelenkarm ist ein eigenes Lehrmodell und kein Abbild meiner Maschine oder eines gebauten Roboters.

Quellen und fachliche Einordnung

Primärquellen, geprüft am 24.10.2026. Eigene Lehrbeispiele und schematische Grafiken. Befehlsdetails gelten jeweils für die genannte Steuerung.

CNC Modellbau